ПРИЛОЖЕНИЕ А

(математические выкладки)

Математические выкладки настоящего приложения следует рассматривать совместно с главой “Релятивистская модель шаровой молнии”.

Нерелятивистский случай

Справедливо соотношение:

V = ωx .

(А1)

Из второго закона Ньютона для выделенного кольцевого элементарного объема следует:

dM a = dF ,

(А2)

где:

dM – общая масса заряженных частиц в элементарном объеме,

a – линейное ускорение,

dF – сумма модулей всех сил, действующих в радиальном направлении.

На участки элементарного кольцевого объема действует сила Лоренца. При этом, индукция магнитного поля В учитывает интегральное воздействие на элементарный кольцевой объем со стороны всех остальных кольцевых токов рассматриваемой системы. Сумма модулей силы Лоренца для всех участков кольцевого объема равна:

dFл = – dQ VB,

(А3)

где:

dQ – общий электрический заряд частиц в элементарном кольцевом объеме.

На участки элементарного кольцевого объема действует также кулоновская сила взаимодействия электрического поля с зарядом. При этом, напряженность электрического поля Е учитывает интегральное воздействие на элементарный кольцевой объем со стороны всех остальных электрических зарядов рассматриваемой системы. Сумма модулей указанной силы для всех участков кольцевого объема равна:

dFк = dQ E.

(А4)

Для линейного ускорения справедливо соотношение:

a = ω2x .

(А5)

Для массы dM справедливо соотношение:

dM = (m/q) dQ,

(А6)

где:

m – масса заряженной частицы,

q – ее заряд с учетом знака.

Получаем следующую запись второго закона Ньютона:

– (m/q) dQ ω2x = dQ E – dQ ωxB,

(m/q) ω2x = ωxB – E,

E = ωx [B – (m/q) ω].

(А7)

Возьмем производную по х:

E' = (ωx)' [B – (m/q) ω] + ωx [B – (m/q) ω]',

E' = ω [B – (m/q) ω] + ωxB'.

(А8)

Запишем уравнения Максвелла для выделенного элементарного объема. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля H:

∫ H dl = I,

(А9)

где:

H – вектор напряженности магнитного поля,

I – суммарный ток.

Для выделенного кольцеобразного элементарного объема уравнение для циркуляции вектора H запишется следующим образом:

dH h = dI,

(А10)

где:

dH – приращение напряженности магнитного поля,

dI – сила электрического тока в элементарном кольце.

Справедливо соотношение:

dB = µ0dH, отсюда получаем dH = dB/µ0,

(А11)

dI = dQ/Т = dQ ω/ (2π),

(А12)

где:

Т – период вращения частицы.

dQ = ρh 2πx dx.

(А13)

Отсюда получаем:

dI = ω/ (2π) ρh 2πx dx = ρhωx dx.

(А14)

Подставляя (А11) и (А14) в (А10), получим:

h dB/µ0 = ρhωx dx.

 

Отсюда получаем:

B' = µ0ρωx.

(А15)

Запишем уравнение Максвелла для потока вектора E:

∫ E ds = Q/ε0.

(А16)

Для выделенного кольцеобразного элементарного объема уравнение для потока вектора E запишется следующим образом:

dE Sбок = ρSбокdx/ε0.

 

Отсюда получаем:

E' = ρ/ε0.

(А17)

В итоге, имеем систему дифференциальных уравнений:

{

B' = µ0ρωx E' = ρ/ε0 E' = ω [B – (m/q) ω] + ωxB'.

(А18)

Подставим первое и второе уравнения системы (А18) в третье уравнение этой системы. Получим:

ρ/ε0 = ω [B – (m/q) ω] + µ0ρω2x2.

(А19)

Отсюда получаем:

ω [B – (m/q) ω] = ρ [(1/ε0) – µ0ω2x2].

(А20)

Дифференцируя по х, получаем:

ωB' = ρ' [(1/ε0) – µ0ω2x2] – ρµ0ω2 2x.

(А21)

Подставим в уравнение (А21) первое уравнение (А15) системы (А18). Получим:

3ρµ0ω2x = ρ' [(1/ε0) – µ0ω2x2].

(А22)

Учитывая соотношение Максвелла µ₀ε₀ = 1/c², получим:

3ρx ω2/c2 = ρ' (1 – x2ω2/c2),

(А23)

где:

c – скорость света в вакууме.

Обозначим:

z = ωx/c.

(А24)

Произведем замену переменной x на переменную z в соотношении (А23). Учтем следующие очевидные соотношения:

ρ'x = dρ/dx = (dρ/dz) (dz/dx) = ρ'z ω/c.

(А25)

Подставим (А24) и (А25) в уравнение (А23). Получим:

3ρz = ρ'z (1 – z2).

(А26)

Отсюда получаем:

3z (1 – z2)-1 = (1/ρ) dρ/dz.

(А27)

Проинтегрируем (А27):

∫ 3z (1 – z2)-1 dz = ∫ dρ/ρ.

(А28)

Учитывая табличные интегралы, получаем:

– (3/2) ln(1 – z2) = ln(ρ) + const.

(А29)

Отсюда получаем решение для функции ρ(z):

ρ = ρ0 (1 – z2)-3/2,

(А30)

где:

ρ₀ – некоторая константа, имеющая размерность плотности заряда.

Графически, функция ρ(z) выглядит, как показано на рис.А1. Обращает на себя внимание безграничное нарастание плотности заряда при устремлении скорости частиц к скорости света (при z = 1). И наличие в системе зарядов только одного знака. В природе такая система не может реально существовать, так как огромный нескомпенсированный заряд вызвал бы ее моментальное “прилипание” и разряд на первый попавшийся, пусть даже лишь слегка проводящий, объект (прежде всего – землю). Зарядов другого знака это решение не допускает в принципе.

Рис. А1. Распределение плотности заряда в нерелятивистском случае.

Релятивистский случай

Интересное поведение функции ρ(z) при стремлении z → 1 наводит на мысль о необходимости учета положений СТО Эйнштейна. Это относится к массе частиц:

m' = m (1 – z2)-1/2,

(А31)

где теперь уже:

m – масса покоя,

m'– масса, скорректированная с учетом движения частицы.

Из соотношения (А7) получаем:

E = ωx [B – (m/q) ω (1 – z2)-1/2].

(А32)

Поступим как в нерелятивистском случае, рассмотренном выше, - продифференцируем это выражение по переменной x:

E' = ω [B – (m/q) ω (1 – z2)-1/2] + ωx [B' – (m/q) ω (–1/2) (1 – z2)-3/2 (–2z) (ω/c)].

Подставим в него соотношения (А15), (А17):

ρ/ε0 = ω [B – (m/q) ω (1 – z2)-1/2] + µ0ρω2x2 – ωx (m/q) ω (1 – z2)-3/2 z (ω/c).

После несложных преобразований получим:

ωB = ρ [(1/ε0) – µ0ω2x2] + (m/q) ω2 (1 – z2)-1/2 + (m/q) ω2 z2 (1 – z2)-3/2.

Упрощая это выражение, получаем:

ωB = ρ [(1/ε0) – µ0ω2x2] + (m/q) ω2 (1 – z2)-3/2.

(А33)

Введем обозначение:

ξ(z) = (m/q) ω2 (1 – z2)-3/2.

(А34)

По аналогии с ДУ (А26), получим:

3ρz = ρ'z (1 – z2) + ε0 ξ'z .

(А35)

Найдем производную функции ξ(z) по переменной z:

ξ'z = (m/q) ω2 (– 3/2) (1 – z2)-5/2 (– 2z),

ξ'z = (m/q) ω2 3z (1 – z2)-5/2 .

(А36)

В результате, получаем следующее ДУ:

3ρz = ρ'z (1 – z2) + ε0 (m/q) ω2 3z (1 – z2)-5/2 .

(А37)

Обозначим:

α = ε0 (m/q) ω2 .

(А38)

В результате, получаем следующее ДУ:

3ρz = ρ'z (1 – z2) + 3αz (1 – z2)-5/2 .

(А39)

 

Исходя из теории ДУ, искать решение уравнения (А39) будем на основе решения (А30) соответствующего однородного ДУ (А26). Только в нашем случае положим:

ρ0 = С(z).

(А40)

Найдем функцию С(z). Для этого подставим решение уравнения (А26), записанное в виде:

ρ = Ρ(z) (1 – z2)-3/2,

(А41)

в уравнение (А39). Найдем сначала производную ρ'_z:

ρ'z = С'z (1 – z2)-3/2 + С (–3/2) (1 – z2)-5/2 (–2z),

ρ'z = С'z (1 – z2)-3/2 + 3Сz (1 – z2)-5/2.

(А42)

Подставляя (А41) и (А42) в (А39), получим:

3Сz (1 – z2)-3/2 = С'z (1 – z2)-1/2 + 3Сz (1 – z2)-3/2+ 3αz (1 – z2)-5/2 ,

С'z (1 – z2)2 = – 3αz .

(А43)

Отсюда получаем:

С(z) = (–3α/2) ∫ 2z(1 – z2)2 dz = (3α/2) ∫ (1 – z2)2 d(1 – z2),

 

С(z) = ρ0 – (3/2) α (1 – z2)-1,

(А44)

где:

ρ₀ – по-прежнему - некоторая константа, имеющая размерность плотности заряда.

В итоге, подставляя выражение (А44) для С(z) в (А41), для функции плотности объемного заряда получим:

ρ = [ρ0 – (3/2) α (1 – z2)-1] (1 – z2)-3/2,

ρ = ρ0 [ 1 – β (1 – z2)-1] (1 – z2)-3/2,

(А45)

где для удобства записи положено:

β = (3/2) (α/ρ0) = (3/2) (m/q) (ε0ω2/ρ0).

(А46)

Численные оценки - Условия возникновения ШМ

Как уже отмечалось, физический смысл решения (8)-(А45) имеет место при:

[ 1 – β (1 – z2)-1] > 0.

(А47)

Самый крайний случай:

Z = 0.

Отсюда получаем:

β < 1.

(А48)

Или:

(3/2) (m/q) (ε0ω2/ρ0) < 1.

(А49)

Учитывая ω = V/R, получаем:

(3/2) (m/q) (ε0V2)/ (R2ρ0) < 1.

(А50)

Учитывая, что ρ₀ ≈ Q/((4/3)πR³), получаем:

ε0 (m/q) (V2/Q) 2πR < 1.

(А51)

Учитывая, что Q ≈ 2πRI/V, получаем:

ε0 (m/q) (V3/I) < 1.

(А52)

Из соотношений (51) и (52) вытекают условия возможности существования системы вращающихся зарядов:

Q > ε0 (m/q) 2πRV2,

(А53)

I > ε0 (m/q) V3,

(А54)

Для грубой численной оценки примем скорость равной скорости света V = c. Оценим ток и заряд в разнополярных областях ШМ, положив условно массу заряженной частицы, равной массе электрона, протона и типичного иона атмосферы (кислород, азот, гидроксил). Положим R = 0,1 (м).

Таблица 1.

		I, A	Q, Кл
1	электрон	200	4.10-7
2	протон	3.106	6.10-3
3	ион	6.107	0,1

Необходимо отметить, что величины силы электрического тока в случае 2 и 3 не противоречат известным оценкам максимальных токов линейных молний, которые предполагается – являются прародительницами природных ШМ. Ток линейной молнии – это ток проводимости. Токи областей ШМ согласно предложенной модели – это в чистом виде токи смещения и они имеют разный знак. Их СУММА не должна превышать силу тока порождающей линейной молнии. По отдельности, сила тока внутренней и внешней области ШМ может быть гораздо больше.

Численные оценки – Частота прецессии

Рассмотрим прецессию при взаимодействии двух токов. Частота прецессии (без учета угла) составляет:

WП = M/(Jω),

(А55)

где:

J – момент инерции,

M – механический момент силы.

В первом приближении можно положить:

J ≈ Q (m/q) R2,

(А56)

Сила Лоренца, создающая механический момент:

F ≈ QVB.

(А57)

Учитывая, что QV = 2π RI, получим:

F ≈ 2π RIB.

(А58)

Механический момент:

M ≈ 2π R2IB ≈ 2π R2I µ0I/(2R) = πR µ0I2.

(А59)

Отсюда получаем частоту прецессии:

WП = M/(Jω) = πR µ0I2q/(QmR2ω).

(А60)

Учитывая соотношение Qω = 2πI, получаем:

WП ≈ µ0Iq/(2mR).

(А61)

Рассмотрим прецессию взаимодействия токов с магнитным полем Земли:

WПЗ = M/(Jω) ≈ 2π R2IBq/(QmR2ω).

(А62)

Учитывая соотношение Qω = 2πI, получаем:

WПЗ ≈ Bq/m.

(А63)

 

Численные оценки – время жизни

Как уже отмечалось, ограничением предложенной модели ШМ является пренебрежение взаимодействием рассмотренной системы вращающихся заряженных частиц и окружающей атмосферы. Тем не менее, можно получить некоторые оценки, исходя из энергетических соотношений. Рассмотренная система вращающихся частиц не содержит ничего, кроме самих частиц, которые, в первом приближении, не взаимодействуют друг с другом термодинамически, то есть – через соударения. Поэтому можно считать, что парциальное термодинамическое давление внутри рассмотренной системы, как и абсолютная температура, – равны нулю. Это означает, что со стороны окружающей атмосферы на рассмотренную сферическую систему ШМ действует извне избыточное давление, равное атмосферному. Будем условно считать, что это давление приложено на сферической внешней границе ШМ. Для равновесного состояния системы должна существовать сила, которая изнутри компенсирует давление атмосферы. Это – сила взаимодействия частиц внешней оболочки ШМ с молекулами атмосферы. Указанные частицы, соударяясь с молекулами атмосферы, передают им часть своего импульса. В первом приближении можно записать следующее соотношение:

F = P/t,

(А64)

где:

F – суммарная сила, действующая на границе ШМ изнутри,

P – суммарный импульс, переданный на границе ШМ от системы вращающихся частиц молекулам атмосферы за время жизни ШМ,

t – время жизни ШМ.

Указанная сила компенсирует воздействие атмосферного давления. Поэтому можно записать следующее равенство:

P/t = πD2 PA,

(А65)

где:

D – диаметр ШМ,

P_A – атмосферное давление.

Отсюда получаем:

t = P/(πD2 PA).

(А66)

Суммарный импульс, передаваемый молекулам атмосферы, можно связать с кинетической энергией частиц следующим образом:

EK = MV2/2 = (MV)2/(2M) = P2/(2M),

(А67)

где:

M – суммарная масса молекул атмосферы, которым был передан импульс,

V – их линейная скорость после получения импульса.

Выразив из соотношения (А67) импульс через кинетическую энергию и подставив его в соотношение (А66), получим:

t = (2MEK)1/2/(πD2 PA).

(А68)

Положим значение кинетической энергии частиц ШМ, которую она потеряет на компенсацию атмосферного давления, равной 10⁹ (Дж). Положим диаметр ШМ равным 0,1 (м), а атмосферное давление - 10⁵ (Па). Предположим, что за время жизни внешняя оболочка ШМ провзаимодействует с 1 (м³) воздуха массой 1 (кг). В этом случае – получим из формулы (А68) оценку для времени жизни ШМ, равную 15 (с). Эта оценка хорошо согласуется с наблюдениями.